2009年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文史类）（北京卷）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。
2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
1．设集合 ，则
A． B．
C． D．
2．已知向量 ，如果 ，那么
A． 且 与 同向 B． 且 与 反向
C． 且 与 同向 D． 且 与 反向
3．若 ，则
A．33 B． 29 C．23 D．19
4．为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
5．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为
A．8 B．24 C．48 D．120
6．“ ”是“ ”的
A． 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
C． 充分必要条件 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D．既不充分也不必要条件
7．若正四棱柱 的底面边长为1， 与底面ABCD成60°角，则 到底面ABCD的距离为
A． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B． 1 C． D．
8．设D是正 及其内部的点构成的集合，点 是 的中心，若集合 ，则集合S表示的平面区域是
A． 三角形区域 B．四边形区域
C． 五边形区域 D．六边形区域w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
第Ⅱ卷（110分）
注意事项：
1．用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号 二 三 总分
15 16 17 18 19 20
分数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填写在题中横线上。
9．若 ，则 。
10．若数列 满足： ，则 ；前8项的和
。（用数字作答）
11．若实数 满足 则 的最大值为 。
12．已知函数 若 ，则 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
13．椭圆 的焦点为 ，点P在椭圆上，若 ，则 ； 的大小为 。
14．设A是整数集的一个非空子集，对于 ，如果 ，那么 是A的一个“孤立元”。给定 ，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个。
15．（本小题共12分）
已知函数 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值。
16．（本小题共14分）
如图，四棱锥 的底面是正方形， ，点E在棱PB上。
（Ⅰ）求证：平面 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）当 且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。
17．（本小题共13分）
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是2min。
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
18．（本小题共14分）
设函数 。
（Ⅰ）若曲线 在点 处与直线 相切，求 的值；
（Ⅱ）求函数 的单调区间与极值点。
19．（本小题共14分）
已知双曲线 的离心率为 ，右准线方程为 。
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆 上，求m的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
20．（本小题共13分）
设数列 的通项公式为 。数列 定义如下：对于正整数m， 是使得不等式 成立的所有n中的最小值。
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前2m项和公式；
（Ⅲ）是否存在p和q，使得 ？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m